Exercices de Math´ematiques Divisions euclidiennes de polynˆomes (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que ∀ (m, n, p, q) ∈ IN4, B = X3+X2+X+1 divise A = X4m+3+X4n+2+X4p+1+X4q. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] D´eterminer un polynˆome A unitaire de degr´e 3, divisible par (X − 1) et ayant le mˆeme reste dans les divisions par (X − 2), (X − 3) et (X − 4). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] On pose An = Xn+1 cos(n − 1)θ − Xn cos nθ − X cos θ + 1 et B = X2 − 2X cos θ + 1. Effectuer la division de An par B. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On veut d´eterminer tous les polynˆomes A de IK[X] tels que A′ ;;; A. Traiter rapidement le cas o`u A est constant. Si A est une solution de degr´e n ≥ 1, montrer que A = 1 n(X + λ)A′, avec λ ∈ IK. Trouvez alors toutes les solutions (on pourra donner trois m´ethodes diff´erentes !) Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.