Cours de Math´ematiques Polynˆomes et fractions rationnelles Sommaire Polynˆomes et fractions rationnelles Sommaire I Polynˆomes `a coefficients dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 Suites de K `a support fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Degr´e et valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Evaluation des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.5 D´erivation des polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II Division dans K[X], Pgcd et Ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.1 Divisibilit´e dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.3 Algorithme d’Euclide, Pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.4 Polynˆomes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II.5 Equation AU+BV=C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II.6 Ppcm de deux polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 II.7 Br`eve extension au cas de plusieurs polynˆomes . . . . . . . . . . . . . 19 III Racines des polynˆomes, factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 III.1 Racines d’un polynˆome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 III.2 Racines distinctes, polynˆomes scind´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III.3 Identification entre polynˆomes et fonctions polynomiales . . . . . . . . 22 III.4 Relations coefficients-racines pour un polynˆome scind´e . . . . . . . . . 23 IV Polynˆomes irr´eductibles et factorisations . . . . . . . . . . . . . . . 25 IV.1 Polynˆomes irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 IV.2 Factorisation dans C[X] et dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 V Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 V.1 Le corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 V.2 Op´erations diverses sur fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . 29 V.3 Degr´e, partie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 V.4 Pˆoles et partie polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 V.5 D´ecomposition en ´el´ements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 V.6 Pratique de la d´ecomposition en ´el´ements simples . . . . . . . . . . . . 35 V.7 Exemples de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Dans tout ce chapitre IK d´esigne un corps commutatif (le plus souvent IR ou lC). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.