Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes dont les z´eros v´erifient des conditions donn´ees ´Enonc´e Polynˆomes dont les z´eros v´erifient des conditions donn´ees Dans ce probl`eme, on consid`ere des polynˆomes `a coefficients complexes. Un polynˆome est dit normalis´e si le coefficient du terme de plus haut degr´e vaut 1. 1. Un polynˆome Q, normalis´e de degr´e 2, s’´ecrit : Q(X) = X2 + pX + q. On note a et b ses z´eros, distincts ou non. (a) Calculer a2 + b2 et (ab)2 en fonction de p et q. (b) D´eterminer p et q pour que les z´eros de Q soient a2 et b2. 2. Soit A un polynˆome normalis´e de degr´e 2, de z´eros a et b : A(X) = (X − a)(X − b). (a) D´eterminer a et b pour que A(X) divise A(X2). (b) Donner la liste des polynˆomes A v´erifiant cette condition. 3. Soit B un polynˆome normalis´e de degr´e 2, de z´eros a et b : B(X) = (X − a)(X − b). (a) D´eterminer a et b pour que B(X) divise B(X3). (b) Donner la liste des polynˆomes B v´erifiant cette condition. (c) Montrer (sans l’aide de cette liste) que si B(X) est l’un de ces polynˆomes, alors B(−X) en est un aussi. 4. Un polynˆome P(X) = X3 + pX2 + qX + r, normalis´e de degr´e 3, a pour z´eros a, b, c. (a) Calculer a2 + b2 + c2 et (bc)2 + (ca)2 + (ab)2 en fonction des coefficients p, q, r. (b) D´eterminer p, q, r pour que les z´eros de P soient a2, b2 et c2. (c) Donner la liste de ces polynˆomes P et v´erifier que pour chacun d’eux : P(X2) = −P(X)P(−X). 5. Parmi les polynˆomes P pr´ec´edents, on notera F1 et F2 les deux polynˆomes qui ne sont pas `a coefficients tous r´eels. (a) Calculer le produit F1(X)F2(X). (b) Donner, sous forme trigonom´etrique, les z´eros de chacun des polynˆomes F1 et F2. (c) Former les polynˆomes normalis´es de degr´e 3 ayant pour z´eros les parties r´eelles des z´eros de F1 et F2. (d) Former les polynˆomes normalis´es Φ1 et Φ2, de degr´e 3, ayant pour z´eros les parties imaginaires des z´eros des polynˆomes F1 et F2. (e) Former les polynˆomes G et H tels que : � G(X) = −64Φ1(X)Φ2(X) H(X) = −XG(X) Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.