Probl`emes de Math´ematiques Une m´ethode de calcul de la somme des ∞ � k=1 1 n2 ´Enonc´e Une m´ethode de calcul de la somme des ∞ � k=1 1 n2 Pour tout entier naturel n, on d´efinit le polynˆome Qn = 1 2i((X + i)n+1 − (X − i)n+1). 1. (a) D´eterminer le degr´e de Qn. [ S ] (b) Montrer que : ∀ r ∈ IN, Q2r = r � p=0 (−1)pC 2p+1 2r+1 X2r−2p. [ S ] 2. (a) D´eterminer les racines de Qn. Montrer que ces racines sont r´eelles. [ S ] (b) En d´eduire la d´ecomposition de Qn en facteurs irr´eductibles dans IR[X]. [ S ] (c) Prouver que : ∀ r ∈ IN, Q2r = (2r + 1) r� k=1 � X2 − cotan 2 kπ 2r + 1 � . [ S ] (d) En d´eduire r � k=1 cotan 2 kπ 2r + 1 = r(2r − 1) 3 , puis r � k=1 1 sin2 kπ 2r + 1 = 2r(r + 1) 3 . [ S ] 3. (a) Montrer que : ∀ x ∈]0, π 2 [, cotan 2x < 1 x2 < 1 sin2 x. [ S ] (b) En d´eduire un encadrement de r � k=1 1 � kπ 2r + 1 �2, puis la valeur de lim r → ∞ r � k=1 1 k2. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.