Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes de Chebyshev ´Enonc´e Polynˆomes de Chebyshev On d´efinit une suite de polynˆomes (Tn)n∈IN, de la mani`ere suivante : T0(X) = 1, T1(X) = X, et ∀ n ∈ IN : Tn+2(X) = 2XTn+1(X) − Tn(X) PREMIERE PARTIE 1. Calculer T2, T3, T4 et T5. 2. Montrer que pour tout entier n : (a) Tn est de degr´e n et son terme dominant est 2n−1Xn. (b) Tn a la parit´e de n. (c) Tn(1) = 1. 3. Montrer que : ∀ (m, n) ∈ IN2, m ≤ n ⇒ 2TnTm = Tn+m + Tn−m. 4. Prouver que : ∀ (m, n) ∈ IN2, Tm(Tn(X)) = Tmn(X). En d´eduire un isomorphisme entre (IN, ×) et {Tn, n ∈ IN}. DEUXIEME PARTIE 1. Montrer que : ∀ α ∈ IR, ∀ n ∈ IN, Tn(cos α) = cos(nα) et Tn(cosh α) = cosh(nα). 2. Etablir que, pour tout n ≥ 1, les z´eros de Tn sont r´eels, distincts deux `a deux, qu’ils appartiennent `a ] − 1, 1[, et qu’ils sont donn´es par ∀ k = 1, . . . , n : xk = cos( π 2n + kπ n ). 3. (a) Montrer que : ∀ α ∈]0, π[, ∀ n ∈ IN, T ′ n(cos α) = nsin(nα) sin α . (b) En d´eduire les extr´emums de Tn, et en quels points ils sont atteints. 4. D´ecomposer la fraction rationnelle 1 Tn en ´el´ements simples. 5. Montrer que : ∀ n ∈ IN, (1 − t2)T ′′ n − tT ′ n + n2Tn = 0. TROISIEME PARTIE Dans cette partie, P est un polynˆome `a coefficients r´eels de monˆome dominant λXn, avec n ≥ 1. 1. Montrer que sup{;;;P(x);;;, x ∈ [−1, 1]} ≥ ;;;λ;;; 2n−1 Indication : Raisonner par l’absurde et consid´erer le polynˆome Q = 2n−1P − λTn. 2. Plus g´en´eralement, montrer que ∀ a, b : sup{;;;P(x);;;, a ≤ x ≤ b} ≥ �b − a 2 �n ;;;λ;;; 2n−1 Indication : Utiliser un changement de variable pour se ramener au segment [−1, 1]. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.