Exercices de Math´ematiques Sommes de coefficients binomiaux (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient n, p, q, r, s des entiers naturels, avec p ≤ r, q ≤ s, n ≤ r + s. Montrer que � p+q=nC p r C q s = C n r+s . En d´eduire la somme des carr´es des coefficients du binˆome. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient n, p deux entiers naturels, avec 0 ≤ p ≤ n. Montrer que C 0 n C p n + C 1 n C p−1 n−1 + · · · + C p n C 0 n−p = 2pC p n . Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] On se donne trois entiers n, p, q tels que 0 ≤ q ≤ p ≤ n. Montrer que n−p+q � k=q C q k C p−q n−k = C p+1 n+1 . Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que pour tout entier naturel n, n� k=0C n 2n−k 2k = 22n. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.