Exercices de Math´ematiques R´ecurrences diverses ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit une suite (un) par : u0 = 1, u1 = cos θ, et pour n ≥ 2 : un = 2u1un−1 − un−2. Calculer un, pour tout entier n. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit n un entier naturel. – Combien l’´equation x + y = n poss`ede-t-elle de couples solutions (x, y) dans IN2 ? – Combien l’´equation x + y + z = n poss`ede-t-elle de triplets solutions (x, y, z) dans IN3 ? – G´en´eraliser au calcul du nombre de (p + 1)-uplets solutions de x0 + x1 + · · · + xp = n. Pour cette question, on donnera deux d´emonstrations, l’une qui utilise une r´ecurrence et l’autre qui s’appuie sur un calcul de d´enombrement. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que pour tout entier n ≥ 2, un = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n n’est pas un entier. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que, pour tout n ≥ 1, � 2 + � 2 + � 2 + � · · · + √ 2 = 2 cos π 2n+1 (le nombre 2 apparaissant n fois sous la racine). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.