Exercices de Math´ematiques Injections, surjections, bijections ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient f : E → F, g : F → G et h : G → E trois applications. Montrer que si, parmi les trois applications h◦g◦f, g◦f ◦h et f ◦h◦g, deux sont surjectives et la troisi`eme injective (ou deux sont injectives et la troisi`eme surjective) alors les trois applications f, g, et h sont bijectives. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de E dans F. Montrer l’´equivalence des deux propri´et´es suivantes : (a) f est surjective (b) Pour tout ensemble G et toutes applications g, h : F → G, g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient f : E → F, g : F → G et h : G → H trois applications. Montrer que si g ◦ f et h ◦ g sont bijectives, alors f, g et h sont bijectives. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient f : E → F et g : F → G deux applications. Montrer les implications suivantes : 1. Si g ◦ f est surjective alors g est surjective 2. Si g ◦ f est injective alors f est injective 3. Si g ◦ f est surjective et g est injective, alors f est surjective 4. Si g ◦ f est injective et f est surjective, alors g est injective Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble. Montrer qu’il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.