Exercices de Math´ematiques Raisonnement par l’absurde ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere l’ensemble D = {(x, y) ∈ IR2, x2 + y2 ≤ 1}. Montrer que D ne peut pas s’´ecrire comme le produit cart´esien de deux parties de IR. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere une famille finie d’ensembles distincts deux `a deux. Montrer que l’un au moins de ces ensembles ne contient aucun des autres. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] En utilisant uniquement l’axiome de la borne sup´erieure dans IR, montrer que pour tout r´eel a > 0 et pour tout r´eel x, il existe un entier naturel n tel que na > x. On exprime cette propri´et´e en disant que IR est archim´edien. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b, c trois r´eels du segment [0, 1]. Montrer que le minimum de a(1 − b), b(1 − c), c(1 − a) est inf´erieur ou ´egal `a 1 4. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que √ 2 est un nombre irrationnel : on raisonnera par l’absurde et on consid´erera l’ensemble A des n de IN∗ tels que n √ 2 soit entier. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.