Exercices de Math´ematiques Applications et parties d’un ensemble (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de P(E) dans IR. On suppose que pour toutes parties A et B disjointes de E, f(A ∪ B) = f(A) + f(B). Montrer que f(∅) = 0. Prouver que pour toutes parties A et B de E, f(A ∪ B) = f(A) + f(B) − f(A ∩ B). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de E dans F. Montrer que pour toute partie A de E, f(f -1(B) ∩ A) = B ∩ f(A). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de E dans E. Montrer que f est bijective ⇔ pour toute partie A de E, f(A) = f(A) (on note A le compl´e- mentaire de A dans E.) Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient E un ensemble non vide, et A, B deux parties de E. On note [A, A ∪ B] = {X ⊂ E, A ⊂ X ⊂ A ∪ B} et [A ∩ B, B] = {Y ⊂ E, A ∩ B ⊂ Y ⊂ B}. On d´efinit f : [A, A ∪ B] → [A ∩ B, B] par f(X) = X ∩ B. On d´efinit g : [A ∩ B, B] → [A, A ∪ B] par g(Y ) = Y ∪ A. Montrer que f et g sont des bijections r´eciproques l’une de l’autre. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de E dans F. On d´efinit l’application g : P(F) → P(E) par : ∀ Y ⊂ F, g(Y ) = f -1(Y ). 1. Montrer que g est injective ⇔ f est surjective. 2. Montrer que g est surjective ⇔ f est injective. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de E dans F. Montrer l’´equivalence de : (a) f est injective (b) Pour toutes parties A et B de E, f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.