Exercices de Math´ematiques Applications et parties d’un ensemble (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de E dans E et S = {X ⊂ E, f -1(f(X)) = X}. 1. Soit A une partie quelconque de E. Montrer que f -1(f(A)) appartient `a S. 2. Montrer que toute intersection ou r´eunion d’´el´ements de S est encore ´el´ement de S. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de E dans F. 1. Montrer que pour toute partie A de E, f -1(f(A)) ⊃ A. 2. Montrer que pour toute partie B de F, f(f -1(B)) = f(E) ∩ B. 3. Prouver que f est injective ⇔ ∀ A ⊂ E, f -1(f(A)) = A. 4. Prouver que f est surjective ⇔ ∀ B ⊂ F, f(f -1(B)) = B. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient A et B deux parties non vides d’un ensemble E. On consid`ere l’application f, de P(E) dans P(A) × P(B) d´efinie par f(X) = (X ∩ A, X ∩ B). 1. Montrer que f est injective ⇔ A ∪ B = E. 2. Montrer que f est surjective ⇔ A ∩ B = ∅. 3. Dans le cas o`u f est bijective, d´eterminer f −1. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit A une partie d’un ensemble E. On lui associe l’application χA, de E vers {0, 1}, d´efinie par χA(x) = � 1 si x ∈ A 0 si x ̸∈ A Montrer que A �→ χA est une bijection de P(E) sur l’ensemble F(E, {0, 1}). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.