Exercices de Math´ematiques Parties d’un ensemble ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient E et F deux ensembles. Quelle relation y-a-t-il : 1. Entre P(E ∪ F) et P(E) ∪ P(F) ? 2. Entre P(E ∩ F) et P(E) ∩ P(F) ? 3. Entre P(E × F) et P(E) × P(F) ? Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un ensemble non vide. Soit F une partie non vide de P(E). On dit que F est un filtre si : � � � (a) ∀ X, Y ∈ F, X ∩ Y ∈ F (b) ∀ X ∈ F, ∀ Y ⊃ X, Y ∈ F (c) ∅ /∈ F 1. Que pourrait-on dire d’une famille non vide F de P(E) ne v´erifiant que (a) et (b) ? 2. P(E) est-il un filtre sur E ? A quelle condition P(E) − {∅} est-il un filtre sur E ? 3. Montrer que si F est un filtre sur E, alors E ∈ F. 4. Soit A un partie non vide de E. Montrer que que FA = {X ⊂ E, A ⊂ X} est un filtre sur E. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient (Ai)i∈I et (Bi)i∈I deux familles de parties d’un ensemble E. On suppose que pour tout indice i de I, on a E = Ai ∪ Bi. Montrer que E = F, avec F = �� i∈I Ai � � �� i∈I Bi � . Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.