Probl`emes de Math´ematiques ´Equations dans P(E) ´Enonc´e ´Equations dans P(E) Soit E un ensemble. Pour toute partie A de E, on note ¯A le compl´ementaire de A dans E. 1. Soit A une partie de E. On cherche `a caract´eriser les solutions (X, Y ) de l’´equation X ∩ Y = A. (a) Soit A une partie de E. Montrer que pour tout couple (R, S) de parties de E, les ensembles � X = A ∪ (R ∩ ¯S) Y = A ∪ ( ¯R ∩ S) v´erifient X ∩ Y = A. [ I ] [ S ] (b) Montrer que, r´eciproquement, toute solution (X, Y ) de X ∩ Y = A est de la forme ci-dessus pour, au moins, un couple (R, S) de parties de E. [ I ] [ S ] (c) Conclure. [ I ] [ S ] 2. Etudier de mˆeme l’´equation X ∪ Y = A. On donnera deux d´emonstrations pour cette question : (a) Une m´ethode analogue `a la pr´ec´edente, avec � X = A ∩ (R ∪ ¯S) Y = A ∩ ( ¯R ∪ S) [ I ] [ S ] (b) Une m´ethode qui utilise le r´esultat de la question pr´ec´edente. [ I ] [ S ] 3. Dans cette question, on d´esire ´etudier l’´equation (A ∩ X) ∪ (B ∩ ¯X) = C, o`u A, B, C sont des parties donn´ees de E, X ´etant une partie inconnue de E. (a) On suppose que X0 est solution de cette ´equation. i. Montrer que A ∩ B ⊂ C et C ⊂ A ∪ B. [ I ] [ S ] ii. Montrer que ( ¯B ∩ C) ∪ (B ∩ ¯C) ∪ � X0 ∩ � (A ∩ B) ∪ ( ¯A ∩ ¯B) �� = X0. [ I ] [ S ] (b) On suppose que A ∩ B ⊂ C ⊂ A ∪ B. D ´etant une partie de E, on pose : X = ( ¯B∩C)∪(B∩ ¯C)∪ � D ∩ ((A ∩ B) ∪ ( ¯A ∩ ¯B)) � . D´emontrer que : i. A ∩ X = C ∩ � ¯B ∪ (D ∩ A ∩ B) � . [ I ] [ S ] ii. ¯B ∪ X = ¯B ∪ (B ∩ ¯C) ∪ (D ∩ A ∩ B). [ I ] [ S ] iii. B ∩ ¯X = C ∩ � ¯A ∪ ( ¯D ∩ B) � . [ I ] [ S ] (c) En d´eduire (A ∩ X) ∪ (B ∩ ¯X). [ I ] [ S ] (d) Donner une condition n´ecessaire et suffisante, portant sur A,B,C, pour que l’´equation (A ∩ X) ∪ (B ∩ ¯X) = C ait au moins une solution. [ I ] [ S ] (e) Donner alors la forme g´en´erale de la solution. [ I ] [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.