Probl`emes de Math´ematiques Pavages et clans ´Enonc´e Pavages et clans Rappels Soit E un ensemble, et soit (Ai)i∈I une famille quelconque de parties de E. On rappelle que � i∈I Ai = {x ∈ E, ∃ i ∈ I, x ∈ Ai} et que � i∈I Ai = {x ∈ E, ∀ i ∈ I, x ∈ Ai}. Soit (An)n≥0 une suite de parties de E. – On dit que cette suite est croissante si : ∀ n ∈ IN, An ⊂ An+1. – On dit qu’elle est d´ecroissante si : ∀ n ∈ IN, An ⊃ An+1. Premi`ere Partie Soit E un ensemble quelconque. Soit P une partie de P(E). On dit que P est un pavage si : ∀ (A, B) ∈ P2, � A ∪ B ∈ P A ∩ B ∈ P On dit que le pavage P est achev´e si : – Pour toute suite (An)n≥0 croissante d’´el´ements de P, � n≥0 An est encore un ´el´ement de P. – Pour toute suite (An)n≥0 d´ecroissante d’´el´ements de P, � n≥0 An est encore un ´el´ement de P. 1. V´erifier que ∅ et P(E) sont des pavages achev´es de E. [ S ] 2. Donner tous les pavages de E quand E = ∅, ou E = {a}, ou E = {a, b} [ S ]. 3. Dans cette question, on suppose que E est un ensemble fini. Soit (An)n≥0 une suite croissante (ou d´ecroissante) de parties de E. (a) Montrer que la suite (An)n≥0 est stationnaire. Autrement dit, il existe un entier p tel que, pour tout n ≥ p, An = Ap. [ S ] (b) En d´eduire que tout pavage de E est achev´e. [ S ] 4. Soient P1 et P2 deux pavages de E. (a) L’union P1 ∪ P2 est-elle un pavage de E ? [ S ] (b) L’intersection P1 ∩ P2 est-elle un pavage de E ? [ S ] 5. Soit P un pavage de E. (a) Montrer que la famille des pavages achev´es de E qui contiennent P est non vide. On note �P l’intersection de tous les pavages de cette famille. [ S ] (b) Montrer que �P est lui-mˆeme un pavage achev´e contenant P. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.