Exercices de Math´ematiques Quatre exercices ind´ependants ´Enonc´e Quatre exercices ind´ependants Le sujet est compos´e de quatre exercices ind´ependants. Exercice 1 : vers l’op´eration ensembliste unique ? Soit E un ensemble non vide. Le compl´ementaire dans E de toute partie A de E est not´e A. Dans P(E), on connait les op´erations ∩ (intersection), ∪ (r´eunion), \ (soustraction ensembliste), ∆ (diff´erence sym´etrique), et l’op´eration “passage au compl´ementaire”. Dans la suite de cet exercice, elles seront appel´ees op´erations usuelles. On appelera expression ensembliste toute expression form´ee `a l’aide d’un nombre fini de parties de E combin´ees entre elles au moyen d’op´erations usuelles. Par exemple, si A, B, C sont des parties de E, voici quelques expressions ensemblistes : ∅, E, A, A ∪ B, (A∆C) \ (A ∩ B), etc. On dira par exemple que A, B, C sont les “symboles” de l’expression (A∆C) \ (A ∩ B). Dans un souci d’´economie, on ´etudie s’il est possible de r´e´ecrire toute expression ensembliste `a l’aide de certaines seulement des op´erations usuelles (question 1), voire d’une seule d’entre elles (question 2, quitte `a utiliser un symbole qui n’´etait pas dans l’expression initiale), ou ´eventuellement `a l’aide d’une seule op´eration bien choisie (question 3, cette fois-ci sans utiliser d’autres symboles que ceux qui apparaissaient dans l’expression initiale). 1. Montrer que toute expression ensembliste peut ˆetre r´e´ecrite en utilisant uniquement l’intersection et le passage au compl´ementaire. 2. Montrer que toute expression ensembliste peut ˆetre r´e´ecrite en utilisant uniquement la diff´erence ensembliste (au prix ´eventuel de l’utilisation d’un symbole suppl´ementaire.) 3. On d´efinit une op´eration not´ee ∇ en posant : ∀(X, Y, Z) ∈ P(E)3, ∇(X, Y, Z) = � X ∩ Y ∩ Z � ∪ � X ∩ Y � ∪ � Y ∩ Z � (a) Montrer que dans P(E) le “passage au compl´ementaire” peut s’exprimer au moyen de l’op´eration ∇, sans utilisation de symbole suppl´ementaire. (b) Montrer qu’il en est de mˆeme pour l’op´eration “intersection”. (c) En d´eduire que toute expression ensembliste peut ˆetre r´e´ecrite en utilisant uniquement l’op´eration ∇ et sans utiliser d’autres symboles que ceux qui figuraient au d´epart dans cette expression. Exercice 2 : Propri´et´es caract´eristiques de certaines sommes d’entiers 1. Rappeler pourquoi, pour tout entier n ≥ 1, on a n� k=1 k3 = � n� k=1 k �2 . 2. R´eciproquement, on se donne une suite (xk)k≥1 de r´eels strictement positifs. On suppose que pour tout entier n ≥ 1, on a : n� k=1 x3 k = � n� k=1 xk �2 . Montrer que pour tout entier k on a xk = k. 3. Soit p un entier strictement positif. Pour tout entier n ≥ 1, on pose Sn = n� k=1 kp. On suppose que pour n ≥ 1, Sn est un carr´e (c’est le cas si p = 3. . .) Montrer que l’entier p est n´ecessairement ´egal `a 3. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.