Probl`emes de Math´ematiques Filtres et ultrafiltres ´Enonc´e Filtres et ultrafiltres Soit E un ensemble non vide. On dit qu’un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si – (P0) F ̸= ∅. – (P1) ∀ (X, Y ) ∈ F2, X ∩ Y ∈ F. – (P2) ∀ X ∈ F, ∀ Y ∈ P(E) : X ⊂ Y ⇒Y ∈ F. – (P3) ∅ /∈ F. Premi`ere Partie 1. Que dire d’une famille F de P(E) qui v´erifierait (P2) mais pas (P3) ? [ S ] 2. L’ensemble P(E) est-il un filtre sur E ? A quelle condition sur E, l’ensemble P(E) \ {∅} est-il un filtre sur E ? [ S ] 3. Montrer que si F est un filtre sur E alors E appartient `a F. [ S ] 4. Pour toute partie non vide A de E, on note FA = {X ⊂ E, A ⊂ X}. Montrer que FA est un filtre sur E. On l’appelle le filtre principal engendr´e par A. [ S ] 5. On d´esigne par F(E) l’ensemble des filtres sur E. Montrer que l’application ϕ de P(E) \ {∅} dans F(E) d´efinie par ϕ(A) = FA est injec- tive. [ S ] 6. Dans cette question, on suppose que E est un ensemble infini. On note IE l’ensemble des compl´ementaires des parties finies de E. Montrer que IE est un filtre sur E. [ S ] Deuxi`eme Partie 1. Soit F un filtre sur E. On suppose que l’un des ´el´ements de F est une partie finie de E. L’objectif de cette question est de d´emontrer que le filtre F est principal. Par hypoth`ese l’ensemble N = {n ∈ IN, ∃ B ∈ F, card(B) = n} est donc non vide. Soit n0 le minimum de l’ensemble N, et soit A un ´el´ement de F de cardinal n0. Montrer que F est le filtre principal engendr´e par A. [ S ] 2. (a) En d´eduire que si E est un ensemble fini, tout filtre sur E est principal. [ S ] (b) Qu’en d´eduit-on, si E est fini, pour l’application ϕ d´efinie en I-5 ? [ S ] (c) Quel est le nombre de filtres sur un ensemble `a n ´el´ements (avec n ≥ 1) ? Donner quelques exemples de filtres sur l’ensemble E = {a, b, c, d}. [ S ] 3. Soit E un ensemble infini. Prouver que IE n’est pas un filtre principal. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.