Exercices de Math´ematiques Espaces vectoriels norm´es (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que N : R2 → R, d´efinie pour u = (x, y) par N(u) = sup 0≤t≤1 ;;;x + ty;;; est une norme. Repr´esenter la boule unit´e ferm´ee de centre 0. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient E un espace vectoriel norm´e, et x, y, z, t quatre vecteurs de E. Montrer que ∥x − t∥ + ∥y − z∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y − t∥ + ∥t − z∥ + ∥z − x∥. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel norm´e. Pour toutes parties A et B de E, on note A + B = {a + b, a ∈ A, b ∈ B}. 1. Montrer que si A et B sont compactes, alors A + B est compacte. 2. Montrer que si A est compacte et B ferm´ee, alors A + B est ferm´ee. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace pr´ehilbertien sur K. 1. Pour tout a de E, montrer que fa d´efinie par x �→ fa(x) =< a, x > est continue. 2. Pour toute partie A de E, on rappelle que A⊥ = {x ∈ E, ∀a ∈ A, < a, x >= 0}. Montrer que A⊥ est un ensemble ferm´e (donner deux d´emonstrations.) Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] On munit E = Mn(R) de l’une des trois normes usuelles : Pour toute matrice A = (aij) : ∥A∥1 = � ;;;aij;;;, ∥A∥2 = �� a2 ij, ∥A∥∞ = sup ;;;aij;;; Dans chaque cas, calculer la norme de l’application lin´eaire “trace”. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.