Exercices de Math´ematiques Espaces vectoriels norm´es (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient E un espace vectoriel norm´e et F un sous-espace de E. On note F l’ensemble des points adh´erents de F. Montrer que F est un sous-espace de E. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie, et f un automorphisme de E. Montrer que ∥f∥ ∥f −1∥ ≥ 1. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] E est l’espace vectoriel Mn(R), muni d’une norme quelconque. 1. Montrer que l’ensemble des matrices inversibles est un ouvert de E. 2. Montrer que l’ensemble O(n) des matrices orthogonales est un compact de E. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient E et F deux espaces vectoriels norm´es quelconques sur K. Soit f une application lin´eaire de E dans F. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (a) f est continue en 0. (b) ∃α ∈ K, ∀x ∈ E, ∥f(x)∥ ≤ k ∥x∥ (c) f est lipschitzienne sur E. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.