Cours de Math´ematiques Espaces vectoriels norm´es Sommaire Espaces vectoriels norm´es Sommaire I Espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 Norme sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Distance associ´ee `a une norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Equivalence des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Ouverts et ferm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Suites dans un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.3 Suites convergentes et adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.4 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.5 Parties compactes d’un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . 8 III Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . . 10 III.1 Limites dans un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.2 Op´erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.3 Limites et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.4 Continuit´e dans un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III.5 Propri´et´es des applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV Applications continues particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.1 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.2 Applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.3 Applications bilin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.