Probl`emes de Math´ematiques Normes matricielles et rayon spectral ´Enonc´e Normes matricielles et rayon spectral Dans tout le probl`eme, on d´esigne par n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. – Mn d´esigne l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients complexes. Pour toute matrice A = (aij) de Mn, on note (A)ij = aij son coefficient d’indice (i, j). Dans Mn, on note TM la transpos´ee d’une matrice M. On d´esigne par I la matrice identit´e, et la matrice nulle est not´ee 0. On note Sp (A) l’ensemble des valeurs propres d’une matrice A (son spectre). On note ρ(A) le nombre d´efini par : ρ(A) = max {;;;λ;;; , λ ∈ Sp (A)} (le rayon spectral de A.) – Les ´el´ements de lCn sont identifi´es `a des “matrices colonnes” `a n lignes. On note Z = (zk) un ´el´ement quelconque de lCn et (Z)k = zk. – On dira qu’une norme ψ sur Mn est matricielle si : ∀(A, B) ∈ M2 n, ψ(AB) ≤ ψ(A)ψ(B). Pour toute norme N sur lCn, on pose : ∀A ∈ Mn, � N(A) = sup Z̸=0 N(AZ) N(Z) . On admet que � N est une norme matricielle sur Mn (dite associ´ee `a N.) Par d´efinition � N(A) est donc le r´eel minimum k tel que pour tout Z de lCn : N(AZ) ≤ kN(Z). – On rappelle qu’une suite (uk)k≥0 d’un espace vectoriel E de dimension finie et muni d’une norme N converge vers un vecteur u de E si N(uk − u) tend vers 0 quand k tend vers +∞, et que cela ne d´epend pas de la norme utilis´ee. Partie I On rappelle que N∞ est la norme d´efinie sur lCn par : ∀Z = (zk), N∞(Z) = max 1≤k≤n ;;;zk;;;. Pour toute matrice A = (aij) de Mn, on note ϕ(A) = max 1≤i≤n n � j=1 ;;;aij;;;. 1. Prouver que � N∞(A) ≤ ϕ(A). [ S ] 2. Soit i un entier tel que ϕ(A) = n � j=1 ;;;aij;;;. On d´efinit le vecteur Z = (zk) de lCn par zk = aik ;;;aik;;; si aik ̸= 0 et zk = 0 sinon. A l’aide de Z, montrer que � N∞(A) = ϕ(A). [ S ] 3. Soit ψ une norme matricielle sur Mn. Montrer que : ∀A ∈ Mn, ρ(A) ≤ ψ(A). (Indication : utiliser la matrice Z TZ, o`u Z est un vecteur bien choisi de lCn.) [ S ] Partie II Soient A une matrice de Mn. On veut prouver l’´equivalence lim k→∞ Ak = 0 ⇔ ρ(A) < 1. Soit ε un r´eel strictement positif. On va d’abord montrer l’existence d’une norme N sur lCn telle que � N(A) ≤ ρ(A) + ε. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.