Probl`emes de Math´ematiques Podaires d’une parabole ´Enonc´e Podaires d’une parabole On se place dans le plan R2, muni de sa structure canonique de plan euclidien orient´e. On note P la parabole d’´equation y2 = 2x, et F le point de coordonn´ees ( 1 2, 0) (le foyer de P.) Une repr´esentation param´etrique de P s’´ecrit t �→ M(t) = (x(t), y(t)), avec � x(t) = 1 2t2 y(t) = t (t ∈ R) Premi`ere partie On oriente la parabole P dans le sens des t croissants (donc dans le sens des ordonn´ees croissantes.) On fixe l’origine des abscisses curvilignes en O (donc au sommet de la parabole.) 1. Calculer l’abscisse curviligne s du point M(t). Pr´eciser la base de Frenet au point M(s). [ S ] 2. Calculer le rayon de courbure R au point M(s). Soit Ω(t) le centre de courbure de P en M(t). Montrer que les coordonn´ees de Ω(t) sont donn´ees par � xΩ(t) = 1 + 3 2 t2 yΩ(t) = −t3 [ S ] 3. On note Q la courbe d´ecrite par Ω(t) quand t d´ecrit R (c’est la d´evelopp´ee de P.) Montrer qu’une ´equation cart´esienne de la courbe Q est : y2 = 8 27 (x − 1)3. V´erifier que toute normale `a P est une tangente `a Q. Repr´esenter conjointement les courbes P et Q. [ S ] Deuxi`eme partie Dans toute la suite du probl`eme, on d´esigne par A(a, b) un point fix´e du plan. L’ensemble des points M(x, y) tels que y2 ≥ 2x est appel´e ext´erieur de P. L’ensemble des points M(x, y) tels que y2 > 2x est l’ext´erieur strict de P. On d´efinit aussi l’int´erieur (y2 ≤ 2x) et l’int´erieur strict (y2 < 2x) de P. 1. ´Ecrire l’´equation de la tangente D(t) au point M(t) de P. [ S ] 2. Soit H(t) la projection orthogonale de A sur D(t). Montrer que les coordonn´ees de H(t) sont donn´ees par : X(t) = (2a − 1)t2 + 2bt 2(t2 + 1) et Y (t) = t3 + 2at + 2b 2(t2 + 1) Quand t d´ecrit R, le point H(t) d´ecrit une courbe not´ee ΓA ou Γ(a, b). On dit que ΓA est la podaire de P par rapport `a A. [ S ] 3. Montrer que la courbe Γ est toute enti`ere incluse dans l’ext´erieur de P. [ S ] 4. Montrer que Γ(a, b) et Γ(a, −b) se d´eduisent l’une de l’autre par une sym´etrie. Que peut-on dire, en particulier, des courbes Γ(a, 0) ? [ S ] 5. D´ecrire ΓA quand A = F(1 2, 0). On fera une figure illustrant cette situation. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.