Exercices de Math´ematiques Familles d’int´egrales ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : [a, b] → IR, continue par morceaux. Montrer que lim λ→+∞ � b a f(x) sin λx dx = 0. On supposera d’abord que f est une fonction caract´eristique, puis que f est en escaliers. Comment simplifier la d´emonstration si on suppose que f est de classe C1 ? Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : [a, b] → IR, continue par morceaux. Prouver lim λ→+∞ � b a f(x);;; sin λx;;; dx = 2 π � b a f(x) dx. Mˆeme indication que dans l’exercice pr´ec´edent. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Calculer Iλ,n = � 1 0 xλ lnn x dx (λ > 0, n ∈ IN). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que lim x→0 � bx ax sin t t2 dt = ln b a (avec 0 < a < b). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.