Exercices de Math´ematiques Suites d’int´egrales ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Calculer In = � π 2 0 sin(2n + 1)t sin t dt. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Calculer Jn = � π 2 0 sin2 nt sin2 t dt. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application continue sur [0, 1]. Montrer que lim n→+∞ n � 1 0 xnf(x) dx = f(1). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de classe C1 sur [0, 1], telle que f(1) = 0. Montrer que lim n→+∞ n2 � 1 0 xnf(x) dx = f ′(1) (on pourra utiliser l’exercice pr´ec´edent.) Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Pour tout entier n, calculer In = � π 2 0 sin2n x dx. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Pour tout entier n, calculer Jn = � π 0 x sin2n x dx. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] On pose Im n = � 1 0 xm(1 − x)n dx, o`u m et n sont deux entiers naturels. 1. Trouver une relation entre Im n et Im+1 n−1 . En d´eduire Im n . 2. Calculer Jm n = � π 2 0 sin2m+1 x cos2n+1 x dx 3. En d´eduire Kn = � π 2 0 sin2n+1 x dx. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.