Semaine 10 et 11 SERIES DANS UN ESPACE DE BANACH La théorie des séries est là pour donner un sens à une somme in…nie et aux propriétés qu’elles peuvent avoir sous hypothéses supplémentaires qui sont celles des sommes …nies. Il s’ajoute tous les problèmes d’approximation qu’on rencontre quand on passe aux limités et qu’on veut avoir des valeurs approchées. 1 SERES CONVERGENTES 1.1 Séries convergentes et séries divergentes Il est à noter que la dé…nition même de séries est source de querelles et polémiques chez les mathématiciens. Nous adopterons le point de vue de Kahane mathé- maticien français toujours vivant et grand spécialiste du sujet car il donne au concept de série plus de souplesse. De…nition 1 On considére une suite (un) d’un espace de Banach (E; k:k) : On appelle série de terme général un la suite (Un) dé…nie par: Un = u0 + u1 + ::: + un = n X k=0 uk et on note P un notation standard ou [un] notation ISEN. On dit que la série [un] est convergente (resp divergente) ssi la suite (Un) est convergente (resp divergente) et si elle converge la limite de la suite (Un) est dite somme de la série [un] et est notée: U = +1 X n=0 un = lim n!+1 n X k=0 uk ! Le terme Un est dit n-iéme somme partielle ou somme partielle d’ordre n de la série [un] : Si la série [un] converge le terme Rn = U � Un = +1 X k=n+1 uk est dit reste d’ordre n ou reste partielle d’ordre n de la série [un] : Remark 2 La suite (Rn) converge vers 0 lorsqu’elle existe et Rn mesure l’erreur que l’on fait en remplçant U par Un: Nous majorerons cette série pour avoir une idée de la rapidité de la convergence où nous chercherons des développements asymptotique. 1