Exercices de Math´ematiques Sommes de Riemann (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : [0, a] → [0, b], continue strictement croissante, avec � f(0) = 0 f(a) = b. On note g = f −1. 1. Montrer que ab = � a 0 f(x) dx + � b 0 g(x) dx. (utiliser des sommes de Riemann.) 2. Montrer que : ∀ u ∈ [0, a], ∀ v ∈ [0, b] , uv ≤ � u 0 f(x) dx + � v 0 g(x) dx. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application continue sur [0, 1]. Montrer que lim n→+∞ 1 n n� k=1 (−1)kf(k n) = 0. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux applications continues sur [0, 1]. Montrer que lim n→+∞ 1 n n−1 � k=0 f �k n � g �k + 1 n � = � 1 0 f(x)g(x) dx. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Calculer lim n→+∞ Sn, avec Sn = n � k=1 1 √ n2 + kn. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de classe C3 sur [a, b], et n ∈ IN∗. On pose M3 = sup [a,b] ��f (3)�� et Sn(f) = b − a n n−1 � k=0 f �k n � . On d´efinit de mˆeme les sommes Sn(f ′) et Sn(f ′′). 1. Montrer que ��� � b a f(x) dx − Sn(f) − b − a 2n Sn(f ′) − (b − a)2 6n2 Sn(f ′′) ��� ≤ (b − a)4 24n3 M3 2. Prouver que � b a f(x) dx = Sn(f) + b − a 2n (f(b) − f(a)) − (b − a)2 12n2 (f ′(b) − f ′(a)) + O � 1 n3 � Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.