Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes de Bernoulli, formule d’Euler-MacLaurin ´Enonc´e Polynˆomes de Bernoulli, formule d’Euler-MacLaurin Premi`ere partie : ´etude de suites On consid`ere les relations de r´ecurrence : cn+1 = � 1 + cn 2 , λn+1 = λn cn+1 1. Montrer que pour � c1 = 0 λ1 = 2 ces relations d´efinissent effectivement deux suites � (cn)n≥1 (λn)n≥1 Montrer qu’il existe deux autres suites (θn)n≥1 et (αn)n≥1 telles que pour tout n ≥ 1 : θn ∈ � 0, π 2 � ; αn ∈ IR+; cn = cos θn; λn = αn sin θn Montrer que la suite (λn)n≥1 converge vers π. 2. En utilisant une formule de Taylor montrer, pour tout n ≥ 1, l’in´egalit´e ;;;π − λn;;; ≤ π3 6 · 4n. En d´eduire un entier N1 tel que ;;;π − λN1;;; ≤ 10−6. 3. Montrer que pour tout p donn´e dans IN, λn admet lorsque n → +∞ le d´eveloppement : λn = π − π3 3! 4n + · · · + (−1)p π2p+1 (2p + 1)! 4pn + o � 1 4pn � 4. On d´efinit une nouvelle suite (λ(1) n ) par (λ(1) n ) = 4λn+1 − λn 3 . Montrer que lim n→+∞(λ(1) n ) = π et que λ(1) n − π = o (λn − π) quand n → +∞. Donner un ´equivalent de λ(1) n − π. 5. On d´efinit une suite λ(2) n par : ∀ n ∈ IN∗, λ(2) n = αλ(1) n + (1 − α)λ(1) n+1. Montrer qu’il existe un r´eel α tel que λ(2) n − π = o � 1 8n � lorsque n tend vers l’infini. 6. Donner λ(2) n en fonction de λn, λn+1, λn+2. Montrer que pour tout entier n on a : ���λ(2) n − π ��� ≤ 17π7 576 7! 43n. D´eterminer une valeur N2 telle que l’on ait ���λ(2) N2 − π ��� ≤ 10−6. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.