Probl`emes de Math´ematiques Calcul int´egral appliqu´e `a une approximation de π2 ´Enonc´e Calcul int´egral appliqu´e `a une approximation de π2 PREMI`ERE PARTIE Dans cette partie, on ´etudie l’application x �→ f(x) = x � π 2 0 u du x2 cos2 u + sin2 u pour tout x > 0. 1. Pour tout r´eel x > 0, montrer que I1(x) = � π 2 0 du x2 cos2 u + sin2 u = π 2x. [ S ] 2. (a) Calculer I2(x) = � π 2 0 sin u du x2 cos2 u + sin2 u pour tout r´eel x > 0. On sera amen´e `a consid´erer les cas 0 < x < 1, x = 1 et x > 1. [ S ] (b) V´erifier que I2(x) ∼ − ln x quand x tend vers 0. [ S ] 3. Montrer que pour tout x de IR+∗, on a f(x) + f �1 x � = π2 4 . [ S ] 4. (a) Montrer que pour tout x > 0, on a les in´egalit´es 0 ≤ f(x) ≤ π 2 xI2(x). [ S ] (b) En d´eduire lim x→0 f(x) et lim x→+∞ f(x). [ S ] 5. Dans cette question on ´etablit la d´erivabilit´e de l’application f. (a) On pose Φ(x) = � π 2 0 u du x cos2 u + sin2 u et ∆(x) = � π 2 0 −u cos2 u du (x cos2 u + sin2 u)2. On se donne un r´eel x > 0, et un r´eel h tel que ;;;h;;; < x 2. Pour simplifier les calculs, on pourra poser a(u) = x cos2 u + sin2 u. Montrer qu’on a la majoration : ���Φ(x + h) − Φ(x) h − ∆(x) ��� ≤ ;;;h;;; � π 2 0 u cos4 u du (x 2 cos2 u + sin2 u)3 En d´eduire que Φ est d´erivable au point x. [ S ] (b) Montrer que f est d´erivable sur IR+∗, avec f ′(x) = � π 2 0 u(sin2 u − x2 cos2 u) (x2 cos2 u + sin2 u)2 du [ S ] (c) Montrer que : ∀ x > 0, f ′(x) = � π 2 0 sin u cos u x2 cos2 u + sin2 u du. [ S ] (d) Prouver finalement que pour tout x ̸= 1 on a f ′(x) = ln x x2 − 1. L’application f ′ est-elle continue en x = 1 ? [ S ] 6. Dans cette question, on aboutit `a une nouvelle expression de l’application f. (a) Montrer que pour tout x > 0, on a f(x) = � x 0 ln t t2 − 1 dt [ S ] (b) Dresser le tableau de variation de f et tracer sa courbe repr´esentative [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.