Probl`emes de Math´ematiques Calcul int´egral appliqu´e `a l’´etude d’un maximum ´Enonc´e Calcul int´egral appliqu´e `a l’´etude d’un maximum On d´esigne par a un nombre r´eel strictement sup´erieur `a 1. Pour tout n de IN∗, on note gn la fonction d´efinie sur IR+ par : gn(x) = x(x − 1) · · · (x − n)a−x L’objet du probl`eme est d’´etudier le maximum de la fonction gn sur l’intervalle [n, +∞[. PREMI`ERE PARTIE Dans cette partie, on examine le cas particulier o`u n = 1. 1. (a) Etudier les variations de la fonction g′ 1 g1 . On notera u et v les valeurs de x o`u cette fonction s’annule, avec u < v. [ S ] (b) Dresser le tableau de variations de g1. Etudier la branche infinie du graphe de g1. [ S ] 2. Dans cette question, on prend a = 2. (a) Calculer les valeurs approch´ees `a 10−5 pr`es de u, v, g1(u), g1(v). [ S ] (b) Construire le graphe de g1 (unit´es : 2, 5 cm sur Ox et 10 cm sur Oy). [ S ] DEUXI`EME PARTIE Dans cette partie, on consid`ere une fonction r´eelle f de classe C2 sur l’intervalle [−1, 1]. On d´esigne par M le maximum de ;;;f ′′(x);;; sur [−1, 1]. Soit β un ´el´ement de IR+. On se propose d’approcher l’int´egrale � 1 0 f(t) dt par la somme 1 n n� k=1 f �k−β n � . On suppose que n ≥ β. Pour tout nombre entier k tel que 1 ≤ k ≤ n, on pose : R1(k, n) = f �k n � − f �k−β n � − β nf ′�k n � R2(k, n) = � k/n (k−1)/n f(t) dt − 1 nf �k n � + 1 2n2f ′�k n � 1. (a) En utilisant Taylor-Lagrange montrer que ;;;R1(k, n);;; ≤ A n2, avec A = β2M 2 . [ S ] (b) Montrer ´egalement que ;;;R2(k, n);;; ≤ B n3, avec B = M 6 . [ S ] 2. (a) On pose R3(k, n) = � k/n (k−1)/n f(t) dt − 1 nf �k−β n � − β−1/2 n � f �k n � − f �k−1 n �� . Prouver l’in´egalit´e ;;;R3(k, n);;; ≤ C n3 o`u C = A + B + M 2 ���β − 1 2 ���. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.