Exercices de Math´ematiques In´egalit´es dans IR ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] 1. Montrer que, pour tous r´eels positifs a, b, c, on a : (b + c)(c + a)(a + b) ≥ 8abc. 2. En d´eduire (a + b + c)(1 a + 1 b + 1 c) ≥ 9. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que, pour tous r´eels a, b, c, on a : b2c2 + c2a2 + a2b2 ≥ abc(a + b + c). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b, c trois r´eels positifs. Prouver l’in´egalit´e ab a + b + bc b + c + ca c + a ≤ a + b + c 2 . Quand y-a-t-il ´egalit´e ? Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b, c des r´eels tels que 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 et c ≤ a + b. Montrer que 0 ≤ (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c) ≤ 3. (On pourra donner deux d´emonstrations). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.