Exercices de Math´ematiques Partie enti`ere, Borne sup et inf ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] R´esoudre E(2x − 1) = E(x − 4) dans IR. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Etudier lim ∞ [un] si lim ∞ un = ℓ. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Calculer lim n→∞ 1 n2([x] + [2x] + · · · + [nx]). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient x un r´eel, et n un entier naturel non nul. On note t �→ [t] l’op´eration “partie enti`ere”. 1. Montrer que pour tout entier relatif k, �x + k n � = �[x] + k n � . 2. Montrer que n−1 � k=0 �x + k n � = [x]. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que tout rationnel r de [0, 1[ s’´ecrit d’une mani`ere unique : r = a2 2! + a3 3! + · · · + an n! + · · · les entiers ai (nuls `a partir d’un certain rang) v´erifiant 0 ≤ ai < i. Mettre sous cette forme le rationnel 5 7. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Calculer λ = inf t∈IR � sup x∈[0,1] ;;;x2 + tx;;; � . Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.