Exercices de Math´ematiques Suites extraites ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit (un) une suite dont les suites extraites (an = u2n) et (bn = u3n) convergent respectivement vers ℓ et ℓ′. Montrer que ℓ = ℓ′. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] On se donne une suite r´eelle (un). On suppose que les suites (u2n), (u2n+1) et (u3n) sont convergentes. Montrer que la suite (un) est convergente. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit (un) une suite born´ee ne poss`edant qu’une seule valeur d’adh´erence. Montrer que cette suite est convergente. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit (un) une suite telle que lim ∞ (un+1 − un) = 0. Prouver que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de (un) est vide ou est un intervalle ferm´e. Donner un exemple repr´esentatif de cette deuxi`eme ´eventualit´e. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.