Exercices de Math´ematiques In´egalit´es et r´ecurrences ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient m, n, p des entiers naturels. 1. Montrer que 1 ≤ m ≤ n ⇒ (1 + 1 n)m < 1 + m n + (m n )2. 2. En d´eduire (1 + 1 n)n < 3, puis (1 + p n)n < 3p. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit x1, x2, . . . , xn une famille de r´eels de [0, 1]. Prouver l’in´egalit´e n � k=1 (1 − xk) ≥ 1 − n � k=1 xk. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere les r´eels a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ 0 et b1 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bn ≥ 0. Montrer que (a1 + a2 + · · · + an)(b1 + b2 + · · · + bn) ≤ n(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient x1, x2, . . . , xn dans IR+, et y1, y2, . . . , yn dans IR+∗. Montrer que min �x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn � ≤ x1 + x2 + . . . + xn y1 + y2 + . . . + yn ≤ max �x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn � . Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.