Exercices de Math´ematiques Suites monotones ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit (un) une suite born´ee telle que : ∀ n ≥ 1, 2un ≤ un−1 + un+1. Montrer que cette suite est convergente. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que la suite de terme g´en´eral un = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 kn (o`u k est un entier donn´e sup´erieur ou ´egal `a 2) est convergente. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere la suite de terme g´en´eral un = � 1 + � 2 + � . . . + √n. Montrer que pour tout n, u2 n+1 ≤ 1 + √ 2 un. La suite (un) est-elle convergente ? Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On se donne une suite r´eelle (un) et on pose vn = 1 n(u1 + u2 + · · · + un). 1. Montrer que si lim ∞ un = ℓ alors lim ∞ vn = ℓ. 2. V´erifier sur un exemple que la r´eciproque est fausse. 3. Montrer que si la suite (un) est monotone, alors la r´eciproque est vraie. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit pn la probabilit´e d’obtenir exactement n fois pile en 2n lancers d’une pi`ece ´equilibr´ee. Calculer pn et d´eterminer lim ∞ pn. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.