Exercices de Math´ematiques Rationnels et irrationnels ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que 3� 45 + 29 √ 2 + 3� 45 − 29 √ 2 est un entier. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient m et n des entiers naturels. 1. Montrer que si n n’est pas un carr´e parfait, alors √n est irrationnnel. 2. Montrer que si m et n ne sont pas des carr´es, alors √m + √n n’est pas rationnel. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] 1. Montrer que pour tous a, b dans lQ, a + b √ 2 = 0 ⇔ a = b = 0. 2. Montrer que : ∀ (a, b, c) ∈ lQ3, a √ 2 + b √ 3 + c √ 5 = 0 ⇔ a = b = c = 0. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que 3√ 5 + √ 2 est un irrationnel. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit A l’ensemble des r´eels de [0, 1] dont le d´eveloppement d´ecimal r´eduit ne contient pas 9. Montrer que A est un ensemble ferm´e. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.