Cours de Math´ematiques Nombres r´eels, suites num´eriques Sommaire Nombres r´eels, suites num´eriques Sommaire I Le corps des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1 Le groupe (R,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2 L’anneau (R,+,x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Le corps (R,+,x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Nombres rationnels ou irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.5 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.6 Exposants entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.7 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.8 Droite num´erique achev´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.9 Identit´es remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.10 Valeur absolue et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.11 Quelques in´egalit´es classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II Borne sup´erieure, borne inf´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.1 Axiome de la borne sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2 Propri´et´es de la borne Sup et la borne Inf . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.3 Congruences, partie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.4 Valeurs approch´ees, densit´e de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 II.5 Exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III G´en´eralit´es sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.1 Suites d’´el´ements d’un ensemble quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.2 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.3 Suites p´eriodiques ou stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.4 Suites d´efinies par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III.5 G´en´eralit´es sur les suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 III.6 Suites arithm´etiques ou g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 IV Limite d’une suite num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IV.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IV.2 Propri´et´es des suites admettant une limite . . . . . . . . . . . . . . . . 22 IV.3 Limites et ordre dans la droite num´erique achev´ee . . . . . . . . . . . 23 IV.4 Suites r´eelles monotones, et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.