Probl`emes de Math´ematiques Trois ´etudes de suites ´Enonc´e Trois ´etudes de suites Exercice 1 Soit k un entier naturel fix´e. On pose : ∀ n ∈ IN∗, un = √ (n+k)! n� j=1 (1+√ j ) . 1. Quelques valeurs num´eriques (a) On choisit k = 5. Calculer un avec 5 chiffres significatifs, quand 1 ≤ n ≤ 10, n = 20, n = 50. [ S ] (b) Mˆeme question avec k = 10. [ S ] 2. Convergence de la suite (un) (a) Dans le cas g´en´eral, calculer le rapport un un−1, pour tout n ≥ 2. [ S ] (b) En d´eduire que la suite u est monotone `a partir d’un certain rang N `a pr´eciser. [ S ] (c) Montrer que la suite u est convergente. [ S ] 3. Limite de la suite (un) (a) Montrer ∃M ∈ IN tel que : n ≥ M ⇒ un un−1 ≤ 1 − 1 2√n [ S ] (b) Montrer que : ∀ x > −1, ln(1 + x) ≤ x et que : ∀ x > 0, √x + 1 − √x ≤ 1 2√x. [ S ] (c) En d´eduire que : ∀ n ≥ M, ln(un) − ln(un−1) ≤ √n − √n + 1. [ S ] (d) Conclure `a lim +∞ un = 0. [ S ] Exercice 2 On pose : ∀n ∈ IN∗, un = 1 n n√ n!. On veut calculer lim +∞ un. 1. Premi`ere m´ethode. On pose, pour tout entier n ≥ 1 : vn = nn n! . (a) Etablir : ∀ x ≥ 0, 0 ≤ x − ln(1 + x) ≤ x2 2 . [ S ] (b) En d´eduire : ∀ n ∈ IN∗, 0 ≤ 1 + ln(vn) − ln(vn+1) ≤ 1 2n. [ S ] (c) Montrer que : ∀ x ∈ [0, 1[, x ≤ − ln(1 − x). [ S ] (d) En d´eduire : n� k=1 1 k ≤ 1 + ln(n). [ S ] (e) Prouver finalement que lim +∞ 1 n ln(vn) = 1, puis calculer lim +∞ un. [ S ] 2. Deuxi`eme m´ethode. (a) V´erifier que : ∀ n ≥ 1, ln(un) = 1 n n� k=1 ln(k) − ln(n). [ S ] (b) En encadrant ln(k) `a l’aide d’int´egrales, encadrer ln(un) et en d´eduire lim n→+∞ un. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.