Probl`emes de Math´ematiques Plusieurs m´ethodes pour un mˆeme encadrement ´Enonc´e Plusieurs m´ethodes pour un mˆeme encadrement Soit S = a1, a2, . . . , an une famille de n r´eels strictement positifs. Soit M = max(S) et m = min(S). On se propose de d´emontrer la double in´egalit´e : n2 ≤ n � i=1 ai n � i=1 1 ai ≤ n2 + E �n2 4 ��� M m − � m M �2 (1) 1. V´erifier qu’en toute g´en´eralit´e, cette double in´egalit´e ne peut pas ˆetre am´elior´ee. 2. D´emonstration de la premi`ere in´egalit´e (premi`ere m´ethode) (a) Pour toute famille x1, x2, . . . , xn de IR+∗, montrer que n � i=1 xi = 1 ⇒ n � i=1 xi ≥ n Indication : Proc´eder par r´ecurrence. Dans le passage du rang n au rang n + 1, on utilisera, en justifiant leur existence, deux termes xj et xk tels que xj ≤ 1 ≤ xk. (b) On pose P = ( n � i=1 ai)1/n. Montrer que : ∀ α ∈ IR, n � i=1 aα i ≥ nP α. (c) En d´eduire la premi`ere in´egalit´e de (1). 3. D´emonstration de la premi`ere in´egalit´e (deuxi`eme m´ethode). On pose, ∀ λ ∈ IR, P(λ) = n � i=1 (λ√ai + 1 √ai )2. (a) D´evelopper P(λ) et ordonner le r´esultat suivant les puissances de λ. (b) Par des consid´erations de discriminant, prouver la premi`ere in´egalit´e de (1). (c) A quelle condition n´ecessaire et suffisante cette in´egalit´e est-elle une ´egalit´e ? 4. D´emonstration de la premi`ere in´egalit´e (troisi`eme m´ethode) (a) Pour tout r´eel strictement positif x, montrer l’in´egalit´e : x + 1 x ≥ 2. (b) V´erifier que n � i=1 ai n � i=1 1 ai = n + � 1≤i