Probl`emes de Math´ematiques Questions d’irrationnalit´e ´Enonc´e Questions d’irrationnalit´e On notera I l’ensemble des nombres r´eels qui sont irrationnels. 1. (a) Soit A(t) = tm− cm−1tm−1 − · · · − c1t − c0, avec (c0, . . . , cm−1) dans Zm et m dans N∗. Soit t une racine r´eelle de A. Montrer que t est ou bien dans Z ou bien dans I. [ S ] (b) Soit (n, m) dans N2, avec m ≥ 2. Montrer que m√n est dans N, sinon dans I. [ S ] (c) Montrer que √ 2 + √ 3 puis √ 2 + √ 3 + √ 5 sont dans I. [ S ] 2. Pour tout entier naturel n, on d´efinit le polynˆome An(t) = tn(1 − t)n n! . (a) Montrer que pour tout t de l’intervalle [0, 1], on a l’encadrement : 0 ≤ An(t) ≤ 1 4nn!. [ S ] (b) Montrer que pout tout m de N, A(m) n (0) est dans Z. [ S ] (c) En remarquant que An(t) = An(1−t), montrer qu’il en est de mˆeme pour A(m) n (1). [ S ] 3. Soit p un entier strictement positif. On va montrer que ep est un irrationnel. Par l’absurde, on pose ep = a b , o`u a, b sont dans N∗. Pour tout entier naturel n, on pose ϕn(t) = bept 2n � k=0 (−1)kp2n−kA(k) n (t). (a) V´erifier que ϕn(0) et ϕn(1) sont des entiers relatifs. [ S ] (b) Montrer que ϕ′ n(t) = beptp2n+1An(t). [ S ] (c) En d´eduire l’´egalit´e : ϕn(1) − ϕn(0) = b p2n+1 � 1 0 eptAn(t) dt [ S ] (d) Majorer ;;;ϕn(1) − ϕn(0);;; en utilisant (2a). Aboutir `a une contradiction si on choisit n assez grand. Conclusion ? [ S ] 4. On g´en´eralise ici les r´esultats de la question pr´ec´edente. (a) Montrer que si r est dans Q∗, alors er est dans I. [ S ] (b) En d´eduire que pour tout r de Q+∗ (avec r ̸= 1) le r´eel ln r est irrrationnel. [ S ] 5. Dans cette question, on va montrer que π2 est irrationnel (il en d´ecoule que π est irrationnel.) Par l’absurde, on pose π2 = a b , o`u a, b sont dans N∗. Pour tout entier naturel n, on pose ψn(t) = bn n� k=0 (−1)kπ2n−2kA(2k) n (t). (a) V´erifier que ψn(0), ψn(1) sont entiers. [ S ] (b) On pose ξ(t) = ψ′ n(t) sin πt − πψn(t) cos πt. Montrer que ξ′(t) = π2anAn(t) sin πt. [ S ] (c) En d´eduire que ψn(0) + ψn(1) = πan � 1 0 An(t) sin πt dt. [ S ] (d) Majorer ;;;ψn(1) + ψn(0);;; et aboutir `a une contradiction. Conclusion ? [ S ] 6. On ´etablit ici que le seul rationnel r de ]0, 1 2[ tel que cos πr soit rationnel est r = 1 3. (a) Pour tout n de N, montrer qu’il existe un polynˆome Tn de degr´e n, `a coefficients entiers (de coefficient dominant 2n−1) tel que cos nθ = Tn(cos θ). [ S ] (b) On pose r = m n , et on suppose que cos πr = p q , avec � m ∈ N∗, n ≥ 2, m ∧ n = 1 p, q ∈ N∗, p ∧ q = 1 En consid´erant cos nθ avec θ = πr montrer : ∃ k ∈ {1, . . . , n−1}, q = 2m, et que p est impair. [ S ] (c) Par l’absurde, on suppose que l’entier k est strictement sup´erieur `a 1. Appliquer ce qui pr´ec`ede `a l’angle θ1 = 2θ et prouver que k < k1 < n, avec k1 = 2k − 1. Rien n’empˆeche alors de consid´erer les angles θ2 = 2θ1, θ3 = 2θ2, etc. Conclure `a une absurdit´e, et en d´eduire que cos πr = 1 2, donc que r = 1 3. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c ⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.