Probl`emes de Math´ematiques Fractions continues ´Enonc´e Fractions continues Notations – On notera E(x) la partie enti`ere de tout r´eel x. – On d´esigne par S l’ensemble des suites (an)n≥1 de IR telles que an > 0 pour tout n ≥ 2. Pour toute suite (an)n≥1 appartenant `a S on pose : ∀ n ∈ IN∗, [ a1, a2, . . . , an−1, an ] = a1 + 1 a2 + 1 a3 + 1 ... + 1 an−1 + 1 an (1) En particulier : [ a1 ] = a1, [ a1, a2 ] = a1 + 1 a2 , [ a1, a2, a3 ] = a1 + 1 a2 + 1 a3 Il est clair que si a1, a2, . . . , an sont rationnels, alors [ a1, a2, . . . , an ] est rationnel. – Les identit´es suivantes d´ecoulent imm´ediatement de la d´efinition : ∀ n ≥ 2, [ a1, a2, . . . , an ] = a1 + 1 [ a2, . . . , an ] (2) ∀ n ≥ 2, [ a1, . . . , an−2, an−1, an ] = � a1, . . . , an−2, an−1 + 1 an � (3) – On observe que si an > 1, l’´egalit´e an = (an − 1) + 1 1 permet d’´ecrire : [ a1, a2, . . . , an−1, an ] = [ a1, a2, . . . , an−1, an − 1, 1 ] (4) – A toute suite (an)n≥1 de IR, on associe les suites (pn) et (qn) d´efinies par : � p−1 = 0 q−1 = 1 , � p0 = 1 q0 = 0 , et ∀ n ≥ 1 � pn = anpn−1 + pn−2 qn = anqn−1 + qn−2 (5) En particulier : � p1 = a1 q1 = 1 et � p2 = a2a1 + 1 q2 = a2 > 0 Une r´ecurrence ´evidente de pas 2 montre que pour tout n ≥ 1, on a qn > 0. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.