Exercices de Math´ematiques Fonctions logarithmes ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 R´esoudre le syst`eme � x + y = 65 ln x + ln y = ln 100 Exercice 2 R´esoudre le syst`eme � x2 + y2 = 169 ln x + ln y = ln 60 Exercice 3 R´esoudre le syst`eme � x + y = 2m ln x + ln y = ln(2m + 2) Exercice 4 R´esoudre l’´equation ln(x + 3) + ln(x + 5) = ln 15. Exercice 5 Montrer que : (p > 0, q > 0, et p + q = 2) ⇒ p ln p + q ln q ∈ [1, 4[. Exercice 6 1. Montrer que pour tout x strictement positif, x − x2 2 < ln(1 + x) < x. 2. En d´eduire la limite de n � k=1 (1 + k n2) quand n tend vers +∞. Exercice 7 Soit f(x) = xn−1 ln(1 + x). Montrer que f (n)(x) = (n − 1)! � 1 1+x + 1 (1+x)2 + · · · + 1 (1+x)n � . Exercice 8 Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes : 1. f(x) = ln √ 1 + x2 − 1 √ 1 + x2 + 1, 2. g(x) = ln cos 1 x 3. h(x) = ln √ 1 + x2 − √ 1 − x2 √ 1 + x2 + √ 1 − x2, 4. k(x) = ln ln ln x. Exercice 9 1. Montrer que pour tout x > 0 : ln(1 + x) < x < − ln(1 − x). 2. En d´eduire la limite de la suite un = 1 n + 1 n + 1 + · · · + 1 kn (avec k ∈ N, k ≥ 2). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.