Exercices de Math´ematiques Uniforme continuit´e ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux applications continues sur le segment [a, b], `a valeurs r´eelles. On d´efinit l’application M par, pour tout r´eel α : M(α) = max x∈[a,b](f(x) + αg(x)). Montrer que l’application M est lipschitzienne sur R. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : [a, b] → [a, b] telle que, pour tous x, y de [a, b], on ait ;;;f(x) − f(y);;; ≥ ;;;x − y;;;. Montrer que f est l’une des deux applications x �→ x ou x �→ a + b − x. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : R → R, uniform´ement continue. Montrer qu’il existe deux r´eels a, b ≥ 0 tels que : ∀ x ∈ R, ;;;f(x);;; ≤ a;;;x;;; + b. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que x �→ √x est uniform´ement continue sur R+ (on demande deux m´ethodes.) Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Prouver (f, g uniform´ement continues et born´ees) ⇒ (fg uniform´ement continue). Donner un contre-exemple quand on ne suppose plus que f et g sont born´es. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que l’application x �→ sin x2 n’est pas uniform´ement continue sur R. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : R → R, continue, telle que lim x→−∞ f(x) et lim x→+∞ f(x) existent dans R. Montrer que f est uniform´ement continue sur R. Exercice 8 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b deux r´eels tels que 0 < a < b, et soit f : [a, b] → R. On suppose ∃ k > 0, ∀ x, y ∈ [a, b] (avec x ̸= y), ;;;f(y) − f(x);;; < k;;;y3 − x3;;;. 1. Montrer que f est uniform´ement continue sur [a, b]. 2. Montrer que ϕ : x �→ f(x) − kx3 est strictement monotone sur [a, b]. 3. On suppose que pour tout x de [a, b], ka3 ≤ f(x) ≤ kb3. Montrer qu’il existe un α unique de [a, b] tel que ϕ(α) = 0. Exercice 9 [ Indication ] [ Correction ] On se donne un r´eel α de ]0, 1[. En revenant `a la d´efinition, montrer que x �→ xα est uniform´ement continue sur R+. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.