Exercices de Math´ematiques Continuit´e sur un segment (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application continue de [a, b] dans lui-mˆeme. Montrer qu’il existe un point x0 de [a, b] tel que f(x0) = x0. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : [a, b] → R, continue et injective. Montrer que f est strictement monotone. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : [0, 1] → R, continue et telle que f(0) = f(1). 1. Montrer que pour tout entier n > 0, il existe un r´eel αn de [0, 1] tel que f(αn+ 1 n) = f(αn). 2. Montrer que ce r´esultat est faux si on remplace 1 n par λ ∈]0, 1[, avec 1 λ /∈ N. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient f, g : [0, 1] → R, continues, telles que f(0) = g(1) = 0 et f(1) = g(0) = 1. Montrer que pour tout λ ≥ 0, il existe x0 dans [0, 1] tel que f(x) = λg(x). Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient f, g : [a, b] → R, continues et telles que : ∀ x ∈ [a, b], 0 < g(x) < f(x). Montrer qu’il existe un r´eel λ > 1 tel que, pour tout x de [a, b] : f(x) ≥ λg(x). Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application croissante sur [a, b]. Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuit´e est au plus d´enombrable. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] Donner un exemple d’une application f : [0, 1] → [0, 1], strictement croissante et ayant une infinit´e d´enombrable de points de discontinuit´e. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.