Exercices de Math´ematiques Continuit´e sur un intervalle ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] D´eterminer les applications f : R → R telles que, pour tous x, y : ;;;f(x) − f(y);;; = ;;;x − y;;;. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Trouver les applications continues de R dans R qui admettent 1 et √ 2 comme p´eriodes. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux applications continues de R dans R. Montrer que les applications inf(f, g) et sup(f, g) sont continues. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Trouver les applications continues f : R → R telles que ∀ (x, y) ∈ R2, f �x+y 2 � = f(x)+f(y) 2 . Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Trouver les applications continues f : R → R telles que ∀x, y : f(x + y) = f(x) + f(y). Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : R → R une application continue. Montrer que lim x→±∞ ;;;f(x);;; = +∞ ⇔ l’image r´eciproque par f de tout compact est un compact. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] Pour tout x de I =]0, 1[, de d´eveloppement d´ecimal x = 0, r1r2 . . . rn . . ., on pose : f(x) = 0, r2r1r4r3 . . .. Etudier la continuit´e de f. Exercice 8 [ Indication ] [ Correction ] On pose, pour tout n de N∗ et tout x de R+ : fn(x) = xn + xn−1 + · · · + x − 1. 1. Montrer qu’il existe un unique un positif tel que fn(un) = 0. 2. Montrer que la suite (un) est convergente et que lim un = 1 2. Exercice 9 [ Indication ] [ Correction ] Soit λ un r´eel strictement compris entre 0 et 1. Prouver l’existence et l’unicit´e de la racine positive xn de n� k=0 xk k! = λ exp x. Montrer que lim x→+∞ xn = +∞. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.