Exercices de Math´ematiques Formation de d´eveloppements limit´es (IV) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] D´eveloppement limit´e en 0, `a l’ordre n + 1, de f(x) = ln � 1 + x + x2 2! + · · · + xn n! � . Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] D´eveloppement limit´e en 0, `a l’ordre 5, de f(x) = �√1 + x + √1 − x. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] D´eveloppement limit´e en 0, `a l’ordre 5, de f(x) = (tan x) etan x. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] D´eveloppement limit´e en 0, `a l’ordre 6, de f(x) = � x(sin x + sh x − 2x) (pour x ≥ 0.) Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] D´eveloppement limit´e en 0, `a l’ordre 4, de f(x) = 3√arcsin x − x. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] D´eveloppement limit´e en 0, `a l’ordre 3, de f(x) = 1 x2 − 1 arcsin2 x. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] D´eveloppement limit´e en 0, `a l’ordre 3, de f(x) = √1 + x − 3√1 − 3x 3� 1 + 3 2x + √4 + 5x . Exercice 8 [ Indication ] [ Correction ] On d´efinit une suite de fonctions (fn) par : f0(x) = 1 − x, et fn+1(x) = 1 2 − fn(x). D´eveloppement limit´e en 0, `a l’ordre 5, de fn(x). Exercice 9 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que l’´equation tan x = x poss`ede une solution unique xn dans In = ]nπ − π 2, nπ + π 2[. Trouver le d´eveloppement xn = an + b + c n + d n2 + o( 1 n2). Exercice 10 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que l’´equation ln x + x = λ admet une solution unique xλ, pour tout λ r´eel. Trouver a, b, c tels que xλ = aλ + b ln λ + cln λ λ + o �ln λ λ � quand λ → +∞. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.