Exercices de Math´ematiques ´Egalit´e des accroissements finis ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Appliquer la formule des accroissements finis `a f(x) = ax2 + bx + c entre x0 et x0 + h. Que remarque-t-on ? Interpr´etation g´eom´etrique ? Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application deux fois d´erivable sur [x0, x0 + 2h]. Montrer qu’il existe θ dans ]0, 1[ tel que f(x0 + 2h) − 2f(x0 + h) + f(x0) = h2f ′′(x0 + 2θh). (On donnera deux d´emonstrations de ce r´esultat.) Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Th´eor`eme de Darboux Soit f une application d´erivable sur [a, b]. Montrer que f ′ prend toutes les valeurs comprises entre f ′(a) et f ′(b). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application d´erivable de ]0, 1[ dans IR. On suppose que pour tout x de ]0, 1[, ;;;f ′(x);;; ≤ M. Montrer que f est prolongeable par continuit´e en 0 et en 1. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Appliquer la formule des accroissements finis `a f(x) = arctan x entre 0 et h. Montrer qu’il existe un unique θ tel que f(h) = hf ′(θh). Calculer θ et lim h→0 θ. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.