Exercices de Math´ematiques Th´eor`eme de Rolle (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : [a, b] → IR une application de classe Cn, n + 1 fois d´erivable sur [a, b]. Montrer qu’il existe c dans ]a, b[ tel qu’on ait l’´egalit´e de Taylor-Lagrange : f(b) = f(a) + (b − a)f ′(a) + (b − a)2 2! f ′′(a) + · · · + (b − a)n n! f (n)(a) + (b − a)n+1 (n + 1)! f (n+1)(c) Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Trouver f : IR → IR, d´erivable, telle que f(1) = 1, f ′(0) > 0 et : ∀ x ∈ IR, f ′(x) f ′(f(x)) = 1. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : [a, b] → IR, deux fois d´erivable et telle que f(a) = f ′(a) et f(b) = f ′(b). Montrer qu’il existe un ´el´ement c de ]a, b[ tel que f(c) = f ′′(c). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que la d´eriv´ee d’ordre n de (x2−1)n est un polynˆome de degr´e n dont toutes les racines sont distinctes et comprises entre −1 et 1. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit P un polynˆome `a coefficients r´eels. Montrer que si toutes les racines de P sont r´eelles, il en est de mˆeme des racines de P ′. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soient f, g : [a, b] → IR deux applications continues, d´erivables sur ]a, b[. 1. Montrer qu’il existe c dans ]a, b[ tel que (f(b) − f(a))g′(c) = (g(b) − g(a))f ′(c). 2. On suppose f(a) = g(a) = 0 et lim x→a f ′ g′ = ℓ. Montrer que lim x→a f g = ℓ. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] (Th´eor`eme de Rolle g´en´eralis´e) Soit f : [a, +∞[→ IR, continue, d´erivable sur ]a, +∞[, et telle que lim x→+∞ f(x) = f(a). Montrer qu’il existe un point c, avec c > a, tel que f ′(c) = 0. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.