Exercices de Math´ematiques Fonctions convexes ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : I → J convexe et strictement monotone. ´Etudier la convexit´e de f −1 : J → I. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient f, g : IR → IR convexes, g ´etant croissante. Montrer que g ◦ f est convexe. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient f, g : I → IR convexes. Les applications sup(f, g) et inf(f, g) sont-elles convexes ? Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : IR → IR+∗. Montrer que ln(f) convexe⇒ f convexe. R´eciproque ? Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : [0, +∞[→ IR une fonction major´ee de classe C2. On suppose l’existence d’un r´eel a > 0 tel que : ∀ x ≥ 0, f ′′(x) ≥ af(x) ≥ 0. 1. Montrer que f est d´ecroissante. 2. Quelle est la limite de f ′ en +∞ ? 3. Montrer que lim +∞ f(x) = 0. 4. Montrer que ∀ x ≥ 0, f(x) ≤ f(0) e−x√a. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que si f : IR → IR est convexe et major´ee, alors elle est constante. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.