Exercices de Math´ematiques In´egalit´es de convexit´e ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f : I → IR, continue, telle que : ∀ (x, y) ∈ I2, f �x + y 2 � ≤ f(x) + f(y) 2 . Montrer que f est convexe. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que pour tout λ de IR et tout x de [−1, 1], on a : eλx ≤ ch λ + x sh λ. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient p, q dans IR+∗ tels que 1 p + 1 q = 1. Montrer que ∀ a, b ∈ IR+∗, ap p + bq q ≥ ab. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Pour tous x, y de ]1, +∞[, montrer que ln �x + y 2 � ≥ √ln x ln y. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.