Exercices de Math´ematiques Th´eor`eme de Rolle (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application continue sur [a, b], deux fois d´erivable sur ]a, b[. Montrer que pour tout x de [a, b], il existe un c de ]a, b[ tel que : f(x) = f(a) + f(b) − f(a) b − a (x − a) + (x − a)(x − b) 2 f ′′(c) Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application trois fois d´erivable sur [a, b]. Montrer ∃ c ∈ ] a, b [ , f(b) = f(a) + b − a 2 [f ′(a) + f ′(b)] − (b − a)3 12 f ′′′(c). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application d´erivable sur [a, b], telle que f ′(a) = f ′(b). Montrer qu’il existe un r´eel c de ]a, b] tel que f ′(c) = f(c) − f(a) c − a . Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application de classe C3 sur [0, 2] telle que f(0) = f(1) = f(2) = 0. Montrer que pour x de [0, 2], il existe c dans ]0, 2[ tel que f(x) = x(x − 1)(x − 2) 6 f ′′′(c). Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit g une application impaire et cinq fois d´erivable de [0, 1] dans IR. Montrer qu’il existe un r´eel c de ]0, 1[ tel que : g(1) = 1 3(g′(1) + 2g′(0)) − 1 180g(5)(c). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.