Cours de Math´ematiques D´erivation, convexit´e, D´eveloppements limit´es Sommaire D´erivation, convexit´e, D´eveloppements limit´es Sommaire I D´erivabilit´e d’une fonction num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 D´erivabilit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 D´erivabilit´e `a gauche ou `a droite en un point . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Op´erations sur les applications d´erivables en un point . . . . . . . . . 4 II D´erivabilit´e sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.1 Applications d´erivables, applications de classe C1 . . . . . . . . . . . . 6 II.2 Extremums d’une fonction d´erivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.3 Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.4 Monotonie des applications d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III Applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.1 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.2 Op´erations sur les applications de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV Applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.1 D´efinitions ´equivalentes de la convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.2 R´egularit´e des applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 IV.3 In´egalit´es de convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 V.1 Notion de d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 V.2 D´eveloppements limit´es usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 V.3 Op´erations sur les DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.